Problema de ejemplo: Movimiento de una partícula
Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta, su posición está definida por la relación x = t3 – 5t2 – 12t + 20, donde x se expresa en pies y t en segundos.
Determinar
- a) el tiempo en el que la velocidad será cero.
- b) la posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo.
- c) la aceleración de la partícula en ese tiempo.
- d) la distancia recorrida por la partícula desde t = 4 s hasta t = 6s.
La solución del problema es la siguiente:
Se determinan las ecuaciones de movimiento, que son:
x = t3 – 5t2 – 12t +20 (1)
v = dx/dt = 3t2 – 10t – 12 (2)
a = dv/dt = 6t – 10 (3)
Para determinar la velocidad (v) se calculó la derivada de la ecuación (1). De igual forma, para la aceleración (a), se calculó la segunda derivada de la ecuación (1), o la derivada de la ecuación (2).
a) Tiempo en el que v = 0
Se tiene v = 0 en la ecuación (2)
3t2 – 10t – 12 = 0 t = -1s y t = 5s
La raíz t = +5s corresponde a un tiempo luego de que el movimiento se ha iniciado, para t < 5 s, v < 0, la partícula se mueve en dirección negativa, para t > 5 s, v > 0, la partícula se mueve en dirección positiva.
b) posición y distancia recorrida cuando v = 0.
Cuando se sustituye t = 5 s en (1) se tiene x5 = (5)3 – 5(5)2 – 12(5) + 20
x5 = -40ft
La posición inicial en t = 0 se definió por x0 = 40ft. Debido a que v es distinto de cero durante el intervalo t = 0 a t = 5 s, se tiene:
Distancia recorrida = x5 – x0 = -40ft – 40ft = -80 ft
El resultado es 80 pies en dirección negativa.
c) Aceleración cuando v = 0
Aquí se sustituye t = 5s en (3):
a5 = 6(5) – 10 a5 = 20ft/s2
d) Distancia recorrida desde t = 4s hasta t = 6s
De t = 4s a t = 5s se tiene:
x5 = -40 ft
x4 = (4)3 – 5(4)2 – 12(4) + 20 = -44ft
Distancia recorrida = x5 – x4 = -40ft – (-44ft) = 4ft
= 4 pies en dirección positiva
De t = 5s a t = 6s
x6 = (6)3 – 5(6)2 – 12(6) + 20 = -16ft
La distancia total recorrida desde t = 4 hasta t = 6 es de 4ft + 16ft = 20 ft.
